Un fragment mathématique du Papyrus Kahun
par
John A.R. Legon

d'après son article dans Discussions in Egyptology 24 (1992), 21-24.
Traduction de John Legon et Stéphane Fargeot

Parmi les divers papyri découverts en 1889 par Flinders Petrie dans la ville du Moyen Empire El-Lahun (Kahun), on a trouvé des fragments traitant de problèmes mathématiques, dont certains ont été traduits et analysés à l'époque par F.L. Griffith [1], tandis que d'autres ont été expliqués par Schack-Schackenburg [2]. Cependant, le problème correspondant aux colonnes 11 et 12 du fragment IV.3 du papyrus Kahun, n'a pas été pleinement compris, et l'analyse de R.J. Gillings [3] a entraîné beaucoup de confusion. Dans le présent article, nous allons montrer que, contrairement au point de vue de Gillings, le texte contient un exemple simple et complet de la méthode égyptienne de calcul d'une progression arithmétique.

L'importance et la signification des nombres écrits en hiératique dans la colonne 12 du fragment (voir fig. 1) a d'abord été reconnue par Moritz Cantor [4], qui a remarqué que ces chiffres forment les dix termes d'une progression arithmétique de raison 2 / 3 + 1 / 6 (ou "3 '6 si on utilise la notation de la fig. 1). Cantor a compris aussi que, comme la somme des dix termes est juste égale à 100, les signes hiératiques associés à 100 et 10 qui sont placés en haut de la colonne 12, désignent sans doute cette somme et le nombre de termes, et non pas le nombre 110 qui a été transcrit par Griffith. Si le scribe avait l'intention d'écrire le nombre 110, alors le signe hiératique correspondant à 10 devrait être placé au-dessus du crochet du signe-100, de sorte que les deux signes puissent être lus comme une valeur unique; mais le crochet du signe-100, en fait, est très proche du signe-10, seulement en raison de l'exiguïté du champ d'écriture, c'est à dire ; et la lecture de ces signes comme deux nombres distincts est tout à fait possible. Le scribe a ainsi donné un bref exposé du problème, qui consiste à diviser une quantité de 100 en 10 parts formant une progression arithmétique.

Cependant, Gillings, évidemment pas au courant de l'article de Cantor, a pris la transcription de Griffith au pied de la lettre, et il a essayé un peu laborieusement d'obtenir le total présumé de 110, alors que la somme des termes de la suite était 100. Parce que peu d'exemples de progressions arithmétiques ont survécu dans les papyri mathématiques, comme Gillings lui-même l'a souligné, il a soumis ce problème à un examen minutieux, et il a publié deux solutions distinctes. En premier lieu, il a proposé que le texte représente une partie d'une progression arithmétique de dix-sept termes, dont le plus petit soit égal à la moitié de la raison, alors que la somme des douze termes les plus grands est égale à 110 ; mais, ensuite, il a suggéré que le scribe avait eu l'intention de construire une progression de douze termes avec une somme de 110 et une raison de "3 '6.

Pour expliquer pourquoi seulement dix termes de la série ont été en fait notés, alors qu' il y avait assez d'espace sur le papyrus pour que le scribe écrive plusieurs autres termes, s'il l'avait voulu, Gillings nous dit: "On peut supposer qu'il a été vérifier les sommes des termes de la suite, et quand il a atteint 100, il a pensé qu'en fait il avait fini à 110 ; ou il a pu être fatigué des interminables soustractions."[5].

À l'appui de sa théorie, Gillings estime que le travail dans la colonne 11 adjacente à ce texte était un contrôle de multiplication du treizième terme de la suite, et une pierre d'achoppement à la conclusion que la progression ait été destinée à contenir seulement dix termes. Mais en fait, ce travail est exactement de la forme à laquelle on doit s'attendre en ce qui concerne la méthode égyptienne de calcul d'une progression arithmétique, quand cette suite contient dix termes. Ceci peut être contrôlé par l'autre exemple que nous possédons d'un calcul du même type, le problème 64 du papyrus Rhind [6]. Cependant, comme Cantor a également omis d'expliquer la signification de la colonne 11, il est nécessaire de décrire ici comment le calcul a été effectué.

Etant donnée une quantité égale à 100 qui doit être divisée en dix parts en progression arithmétique, ces dix parts auront neuf différences égales entre elles, et l'intervalle entre la plus petite part et la plus grande sera égale à neuf fois la différence commune. La plus grande part est trouvée en additionnant la moitié de l'intervalle total à la part moyenne qui est égale à 100/10, soit plus simplement 10. Ce calcul a été effectué par le scribe en multipliant la moitié de la différence commune par le nombre de différences égales à la raison; ainsi dans la colonne 11 du fragment Kahun IV.3, pour la différence commune de "3 '6, le scribe multiplie '3 '12 par 9 ce qui donne un résultat de 3 "3 '12. Ceci est additionné à la part moyenne, égale à 10, et de là, comme c'est indiqué en haut de la colonne 12, la part la plus grande sera (10 + 3 "3 '12) soit 13 "3 '12. A partir de cette part la plus grande, on soustrait à plusieurs reprises la différence commune (ou raison de la suite arithmétique) "3 '6 pour fournir chacune des parts inférieures une à une, jusqu'à la part la plus petite, 6 "6 '12.

Maintenant, pour expliquer pourquoi la différence commune "3 '6 a été choisie, il faut noter que la part la plus petite est à peu près égale à la moitié de la plus grande part, et il semble très probable que l'objectif du scribe était de trouver des données qui conduiraient à une approximation de cette relation simple. Le problème était donc de distribuer une quantité de 100 en 10 parts en progression arithmétique, de telle sorte que la part la plus faible soit égale à la moitié de la plus grande part. Le scribe semble avoir réalisé que la plus petite et la plus grande part correspondent respectivement à un tiers et deux tiers de leur somme, qui doit être égale à deux fois la part moyenne, soit 20 exactement, et que les valeurs correctes pour ces parts sont donc 6 "3 et 13 '3. Mais dans ce cas, la différence commune entre les parts successives doit être égale à un neuvième de 6 "3 c'est à dire "3 '18 '54, ce qui est une quantité malaisée à manipuler. Le calcul a été facilité en arrondissant la différence commune à "3 '6, avec une petite erreur, acceptable dans le contexte d'une distribution facile et pratique.

Dans le problème 64 du papyrus Rhind, à titre de comparaison, il fallait diviser 10 hekat d'orge entre dix hommes avec une différence commune égale à la fraction de "l'œil d'Horus" de '8 hekat. La part la plus grande était ainsi égale arbitrairement à plus de trois fois la part la plus faible. Le problème 40 du papyrus Rhind traite de la distribution de pains en progression arithmétique telle que la somme des deux plus petites parts corresponde à 1 / 7 de la somme des trois plus grandes parts - une exigence qui a apparemment été conçue pour utiliser une propriété apparue de façon fortuite avec une progression construite précédemment. Le fragment Kahun IV.3 fournit le seul exemple où une répartition des parts en progression arithmétique semble avoir été prédéterminée par une relation spécifique entre la plus petite part et la part la plus grande.

NOTES

[1]. F.Ll. Griffith, Hieratic Papyri from Kahun and Gurob, 2 vols. (Londres, 1897). Vol.1, 16; vol.2, pl.VIII.
[2]. H. Schack-Schackenburg, ZÄS 37 (1899), 78-9; ZÄS 38 (1900), 138-9.
[3]. R.J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, (Cambridge, Mass., 1972), 176-180.
[4]. M. Cantor, 'Die mathematischen Papyrusfragmente von Kahun', Orientalistische Litteratur-Zeitung vol.1 no.10 (1898), 306-8.
[5]. Gillings op.cit., 80.
[6]. T.E. Peet, The Rhind Mathematical Papyrus (Liverpool, 1923), 107-8. Voir aussi G. Robins et C.C.D. Shute, The Rhind Mathematical Papyrus (Londres, 1987), 42-3.