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Dans mon article sur les proportions de la
Pyramide de Meydum dans un récent numéro
de Discussions in Egyptology,[1] j'ai exprimé certaines
opinions qui, à en juger par la réaction de Robins et Shute dans
le numéro suivant,[2] n'ont pas été bien comprises. Mon
exposé était certainement très bref, et le moment est venu
de clarifier les points pour lesquels Robins et Shute semblent avoir eu quelques
difficultés. Leurs commentaires ont été très
positifs, et ont conduit à une amélioration significative du matériel
présenté dans mes précédents articles, comme nous le
verrons.
Hauteur et Base contre Seked
Robins et Shute commencent leur article en analysant l'interprétation de
la forme extérieure des pyramides sous deux formes, "selon que l'on
considère comme facteur déterminant la pente du revêtement
ou la hauteur du sommet." Eh bien, il se trouve qu'aucune de ces approches
ne correspond à ma propre position, parce que, bien que le choix de la
pente puisse parfois avoir été une priorité, je crois que
la hauteur et la base sont prépondérantes et en général
étroitement liées à la pente. Chaque fois que je parle de
l'angle du revêtement d'une pyramide, je déduis en même temps
la hauteur liée à cet angle, connaissant également les
dimensions de la base.
Robins et Shute, cependant, ont pris un point de vue différent,
et ont travaillé sur les pentes des pyramides presque exclusivement. Ils
affirment avoir l'orthodoxie de leur côté, et dans un article précédent,
ils nous disent: [3] "Il ressort clairement des problèmes
d'inclinaison des pyramides dans le Papyrus Mathématique Rhind, numéros
56-59, que les pentes des pyramides ont été prédéterminés
à partir d'une mesure proportionnelle appelée seked, qui
est le déplacement horizontal mesuré en palmes pour une chute
verticale de sept palmes, soit une coudée royale". Si on se réfère
aux problèmes en question, toutefois, on montre que, dans trois cas sur
cinq, les valeurs du seked ont été calculées à
partir des dimensions de la pyramide données au départ : la
hauteur et la base.[4]. Ainsi, même si on peut supposer que les pentes étaient
contrôlées par des valeurs du seked, il semble plus exact
d'affirmer qu'elles ont été prédéterminées
par la hauteur et la base choisies.
Ce n'est pas ainsi que Robins et
Shute voient le problème, cependant, car ils ont exprimé l'avis
que: [5] "Si on étudie l'ensemble des pyramides, il semble que les
architectes n'aient pas été particulièrement préoccupés
par la hauteur exacte, qui n'a été qu'une conséquence du
seked très précisément sélectionné et
de l'espace disponible sur le site pour établir la base carrée. "
Pour contrer l'objection relative au fait que les hauteurs des pyramides sont précisées
dans le Papyrus Mathématique Rhind, ils disent : [6] "ces énoncés
ont été conçus comme des exercices d'élèves,
de sorte qu'il serait erroné d'en déduire que les concepteurs des
pyramides se sont particulièrement intéressés aux hauteurs
effectives des bâtiments ".
Je ne peux que souligner que la
construction d'une pyramide n'était pas seulement un exercice, mais
quelque chose qui, dans certains cas, a duré au moins vingt ans, et je
pense que nous pouvons supposer que les constructeurs ont été plus
qu'un peu intéressés par la connaissance de l'éventuelle
hauteur de l'édifice. Certes, la hauteur est en un sens théorique,
car elle ne peut pas être mesurée directement, mais cela ne diminue
en rien l'importance qui a été accordée à cette
dimension fondamentale par les constructeurs.
Il faut dire que le
choix des dimensions utilisées dans plusieurs des pyramides de la Quatrième
Dynastie est loin d'être évident, et qu'il doit reposer sur des
considérations beaucoup plus subtiles que celles évoquées
par Robins et Shute. Néanmoins, la pente du revêtement de la
pyramide de Meydum et de la Grande Pyramide est clairement expliquée par
les mesures de la hauteur et de la base, et l'on pourrait attendre une certaine
reconnaissance de ce fait par Robins et Shute. Mais je ne trouve aucune mention
dans leurs articles des dimensions réelles des pyramides, sauf pour les
150 coudées de base et les 100 coudées de hauteur qui ont été
utilisées dans certaines pyramides à partir de la fin de le Ve
Dynastie.
Dans mon article précédent de Discussions in
Egyptology, j'ai suggéré que l'utilisation du seked au
cours de l'Ancien Empire n'a pas été confirmée, et Robins
et Shute n'ont en effet pas été en mesure de signaler un
quelconque appareillage de mesure du seked ou des textes contemporains
qui montreraient avec certitude une utilisation du seked à cette époque.
L'hypothèse d'une telle utilisation repose principalement sur les calculs
de pente dans le Papyrus Mathématique Rhind, qui a été copié
à partir d'un texte du Moyen Empire daté de quelque 700 ans après
la construction des pyramides de Gizeh. [7]
Bien que le seked
puisse remonter à l'Ancien Empire, il n'en existe pas de preuve, et il
n'est pas obligatoire de penser qu'il ait été utilisé pour
chaque cas où une surface en pente a dû être construite. Il y
avait toujours une mesure plus directe de la pente à la disposition des
constructeurs, définie de façon simple par le rapport entre la
base et la hauteur, et la question est de savoir si les pentes des pyramides étaient
initialement prises en compte de cette façon ou de manière plus
abstraite à l'aide de valeurs du seked.
Étant
donné que chaque valeur du seked peut être exprimée
de façon équivalente par un rapport entre la base et la hauteur,
cette question peut sembler être une simple affaire de définition.
Robins et Shute, cependant, ont pris le problème un peu plus loin, en
affirmant: [8] "la conclusion générale est que les
architectes des pyramides ont toujours déterminé la pente d'une
seule manière, par un déplacement latéral exprimé en
palmes et doigts pour une chute d'une coudée royale." Mais cette
exigence par laquelle un seked devrait être exprimable en palmes
et doigts ne s'applique pas systématiquement dans le Papyrus Mathématique
Rhind : on voit dans le Problème 56 qu'une pyramide définie par sa
hauteur et sa base fournit un seked de 5 1/25 palmes.[9] La nature peu réaliste
de ce résultat montre une utilisation du seked comme un concept
théorique, en rupture avec la réalité d'une mesure réelle.
Mais permettez-nous maintenant d'examiner le seked de cinq
palmes et un doigt, qui est censé avoir été utilisé
pour plusieurs pyramides de l'Ancien Empire. Quelle est la signification de
cette valeur pour les constructeurs de la pyramide ? Robins et Shute suggèrent
qu'il a été utilisé dans une pyramide de la fin de la Ve
Dynastie et dans quatre pyramides de la VIe Dynastie, pour donner "l'association
claire d'une base de 150 coudées royales et d'une hauteur de 100 coudées
royales."[10] N'aurait-il pas été possible que les
architectes aient pu imaginer les dimensions précisément en ces
termes simples ? Le rapport de la hauteur à la base dans ce cas étant
simplement 2:3, le rapport entre la hauteur et la demi-base est 4:3 et la pente
du revêtement de la pyramide correspond à l'hypoténuse d'un
triangle de Pythagore 3-4-5 posé sur son plus petit côté.
Robins et Shute ont à nouveau souligné que ce résultat
aurait pu fournir "une base pratique pour des équerres utilisées
par les tailleurs de pierre."[11]
Mais puisque la pente pouvait être construite avec une hauteur
de 4 parties verticales associée à une base de 3 parties, quelle
raison aurait eu l'architecte de convertir cette pente en un seked de 5
palmes 1 doigt ? Cette mesure n'aurait eu ni utilité pratique, ni
importance numérique. Le fait que les pentes de certaines pyramides
puissent aujourd'hui être exprimées en valeurs de seked en
palmes et doigts, n'est pas une preuve que les pentes ont été conçues
en ces termes lorsque les pyramides ont été construites.
En
insistant sur les valeurs du seked en nombres entiers de palmes et
doigts, en outre, Robins et Shute excluent inutilement certaines pentes qui ont
toutes les raisons d'être examinées dans un souci de précision
ou de simplicité, mais qui ne peuvent être exprimées comme
un seked en palmes et doigts. Un exemple de précision sur lequel
on peut en effet discuter est la pente de 5 vertical pour 4 de base qui a été
attribuée par les spécialistes à la troisième
pyramide de Gizeh, Mykérinos; Robins et Shute l'ont noté, mais
cela conduit à un seked de 5 3/5 palmes.
Pour trouver
un appui à leur théorie, Robins et Shute se référent
à la pente de la partie inférieure de la Pyramide Rhomboïdale
de Dahchour, et disent: "il est maintenant généralement admis
que la valeur de l'angle devrait être 54° 27' 44", afin qu'il
soit conforme à un seked de 5 palmes." [12] Ils fondent
cette conclusion sur l'angle théorique mentionné par Baines et
Malek dans leur ouvrage de référence bien connu,[13] mais en même
temps ils laissent échapper les données de l'enquête publiées
plus d'un siècle auparavant par Flinders Petrie, [14] et les résultats
de l'enquête récemment publiée par Josef Dorner dans MDAIK.[15]
Ils ne font aucune mention de l'article des Göttinger Miszellen de
l'année dernière, dans lequel j'ai examiné les résultats
de ces enquêtes en détail.[16] Les deux arpenteurs ont conclu que
la pente de la partie inférieure correspondait à 10 vertical pour
7 de base, en étroit accord avec l'angle observé d'environ 55°,
mais celui-ci est alors de plus d'un demi-degré supérieur à
celui associé à un
seked de 5.
Mais maintenant Robins et Shute ont un nouveau problème, car
cette pente de 10 vertical pour 7 de base ne peut être exprimée
comme un seked exprimé en palmes et doigts. Une valeur peut être
trouvée en utilisant des cinquièmes de palme au lieu de quarts,
mais les constructeurs n'avait aucune raison de chercher un tel résultat.
Car ils pourraient très facilement être en mesure de contrôler
la pente en prenant un dénivelé de 10 palmes pour chaque coudée
mesurée horizontalement.
Il se trouve que le seked de 5, ou pente de 7 vertical pour 5
de base, peut être attribuée à certaines portions du haut de
la partie inférieure de la pyramide Rhomboïdale, bien que les avis
divergent quant à la cause de la convexité de ces surfaces ; et
Dorner exclut entièrement de ses mesures cette portion du haut. Mais si
l'avis de Dorner devait être accepté sans réserve, le seked
de 5 serait erroné de un demi-degré.
Passons maintenant quelques siècles, cependant, et envisageons
la position d'un scribe du Moyen Empire, qui, se tenant debout dans l'émerveillement
et la révérence devant une puissante pyramide de la Quatrième
Dynastie, a souhaité obtenir une certaine connaissance de sa structure.
Parce que maintenant le seked est devenu clairement le moyen le plus
pratique par lequel le scribe peut mesurer et comparer les pentes des pyramides
déjà existantes, ce qui contribue à la relance de la
construction pyramidale qui a lieu à cette époque. La coudée
sert convenablement comme norme de mesure de hauteur, et le décalage
horizontal de l'inclinaison de la pyramide pourrait facilement être mesuré
en palmes et doigts - bien que des fractions de doigt doivent parfois être
négligées. Prenant une pyramide de proportions hauteur : base de 2
à 3, cependant, la mesure pourrait être exacte, et nous pouvons en
effet entendre l'appel du scribe: "Lo! cinq palmes et un doigt !"
Ce résultat aurait pu être utilisé pour calculer
la hauteur de la pyramide et, dans certains cas, on aurait montré que les
constructeurs ont combiné une base de 150 coudées avec une hauteur
de 100 coudées. Pour Khéphren, la deuxième pyramide de
Gizeh, toutefois, cette conception n'aurait pas été évidente,
car la base a été limitée par les exigences du plan du site
de Gizeh à la valeur de 411 coudées.[17] C'est pour cette raison,
je pense, que le ratio hauteur : base de 7:11 de la Grande Pyramide - comme en témoigne
la hauteur de cette pyramide de 280 coudées et sa base de 440 coudées
- a cédé la place au ratio de 2:3; alors, pour la base de 411 ou 3
× 137 coudées, la hauteur est devenue seulement 2 × 137 ou 274
coudées, et les dimensions sont alors définies avec la plus grande
simplicité.
Mise en évidence de racines carrées
En
faisant référence à mes conclusions, relatives au plan au
sol des trois Pyramides de Gizeh, Robins et Shute continuent leur papier avec
une discussion sur les racines carrées - et en particulier, ils
commentent ma suggestion : les égyptiens auraient pu calculer des
valeurs numériques des racines carrées de 2 et 3 (elles
apparaissent dans les mesures générales du plan de Gizeh sous la
forme 1000√2 et 1000√3 coudées, par exemple). [18] Il
est tout à fait possible, toutefois, que ces mesures aient eu leur
origine dans le développement géométrique du tracé
du plan au sol, et il n'est pas nécessaire de supposer que l'architecte
ait manipulé les racines carrées comme quantités mathématiques
abstraites. La racine carrée de deux pourrait avoir surgi tout
simplement à partir de la relation entre le côté d'un carré
et sa diagonale - une possibilité concrète, parce que, bien sûr,
chaque pyramide a dû être établie avec une base carrée,
et les diagonales doivent avoir même longueur.
Dans mon article décrivant la position du Sphinx,[19] j'ai
suggéré que ce rapport de 1 : √2 peut avoir été
trouvé par mesure directe, et, en principe, c'est exactement la méthode
proposée maintenant par Robins et Shute. Alors qu'ils commencent à
travailler avec une longueur de 1 coudée, cependant, je préfère
prendre une longueur initiale de 10 coudées; et en permettant ainsi de
mesurer plus facilement les divisions de la coudée, le résultat
est beaucoup plus précis. Pour un carré de côté 10
coudées ou 70 palmes, que je suppose avoir été tracé
sur un pavage lisse horizontal, la longueur de la diagonale se trouve mesurer
presque exactement 99 palmes, et en exprimant le résultat en quantièmes,
selon le mode égyptien de calcul, on obtient la valeur suivante pour la
racine carrée de deux:
99 ÷ 70 = 1 + 1/5 + 1/7 + 1/14 = 1.414285...
On pourrait se demander si l'architecte avait besoin de réaliser
cette réduction, puisque les nombres 70 et 99 lui ont fourni une méthode
d'obtention de la diagonale d'un carré, qui est peut-être tout ce
dont il a besoin. Néanmoins, la somme ci-dessus donne la valeur de la
racine carrée de deux avec une erreur relative d'environ 1/19600.
Parce que la longueur du côté de ce carré de dix
coudées correspond à 280 doigts, nous pouvons y discerner
l'origine de la mesure de 280 coudées qui a déterminé la
hauteur de la Grande Pyramide, la demi-largeur de l'enceinte de la Pyramide
Rhomboïdale, et plusieurs autres mesures qui figurent en bonne place dans
le tracé des pyramides de la Quatrième Dynastie. Toutes les
divisions mises en évidence dans ce carré initial, d'ailleurs,
auraient pu être traduites en dimensions réelles, en utilisant une échelle
de une coudée sur le terrain pour chaque doigt du schéma. En
rabattant la demi-diagonale du carré de côté 280 doigts -
soit 2 × 99 ou 198 doigts - sur un côté du carré, nous
obtenons la division de la hauteur de la Grande Pyramide, au niveau du plancher
de la chambre du roi, [20] c'est à dire à (280 - 198) soit 82
coudées. D'autre part, la différence de (280 - 99) soit 181 coudées,
définit exactement le demi-côté de base de la Pyramide
Rhomboïdale.
Comme je l'ai déjà montré,
[21] ce dernier résultat peut être
combiné avec la pente théorique du revêtement inférieur
de la Pyramide Rhomboïdale - soit √2 vertical pour 1 horizontal,
comme cela a été proposé pour la première fois par
Lauer [22] - pour définir les mesures et le profil de cette pyramide, en
utilisant la largeur de l'enceinte de 2 × 280 coudées dans un système
géométrique simple. Alors que Lauer invoque une pente des arêtes
de la pyramide de 1:1, la pente de la face oblique pourrait également
avoir été contrôlée à l'aide d'une équerre
fabriquée simplement en rabattant à la verticale la diagonale d'un
carré dont le côté horizontal constitue l'autre branche de
l'équerre. Comme nous l'avons vu, une approximation rationnelle de cette
pente est donnée par le rapport 99:70, qui peut être simplifié
avec un certain manque de précision à 100:70 ou 10:7, et à
98:70 ou 7:5.
Peut-être pour faciliter le positionnement des entrées de
la Pyramide Rhomboïdale sur le revêtement des côtés nord
et ouest , les constructeurs semblent avoir utilisé le rapport de 10:7
pour la zone basse de la partie inférieure de la pyramide, et ils ont
corrigé le déséquilibre à l'aide d'une pente moyenne
de 7:5 pour le reste. Cela est suggéré par les mesures moyennes de
Petrie de 55° 1' et de 54° 31' pour les zones basse et haute
respectivement, [23] ce qui correspond à une moyenne globale de 54 °
46' qui est très proche de l'angle théorique de 54 ° 44',
correspondant à une pente de √2 vertical pour 1 horizontal.
À Dahchour, un parallèle intéressant à
cette combinaison de pentes apparaît dans la pyramide satellite de la
Pyramide Rhomboïdale, et dans la Pyramide Nord, qui ont tous deux une
inclinaison d'environ 44 ° 30'.[24] Flinders Petrie, observant que le résultat
de Perring pour cette dernière pyramide était erroné
d'environ un degré, [25] attribue à cet angle un profil de 7 sur
l'apothème (l'hypoténuse) pour 5 horizontal, mais l'angle théorique
très voisin de 44° 25' correspond à un profil de 10 sur
l'apothème pour 7 vertical. Dans les deux cas, les
seked correspondants ne peuvent pas être calculés parce que
la dimension sur l'oblique est impliquée, et en tout cas, la plus proche
des valeurs obtenues, exprimée en palmes et doigts, est erronée
d'environ un demi-degré.
Lorsque l'on considère les mesures de la partie inférieure
de la Pyramide Rhomboïdale, on se trouve directement confronté au
nouveau problème posé alors par Robins et Shute, qui est
l'estimation d' une valeur de racine carrée de trois. La dimension
oblique de la section inférieure de la pyramide - son apothème -
correspond concrètement à l'hypoténuse d'un triangle
rectangle de longueur √3 - la base étant de longueur 1 et le côté
vertical √2. Comme je l'ai montré ailleurs [26], cette
dimension est égale à la hauteur de la partie supérieure de
la pyramide, de sorte que la hauteur totale de 200 coudées est divisée
dans le rapport √2 : √3, c'est à dire selon les
segments de 89,9 et de 110,1 coudées. Dans le plan du site de Gizeh, le même
rapport explique la division fondamentale d'une longueur de 2000 coudées
en parties de 899 et de 1101 coudées, dans le prolongement du côté
sud de la Deuxième Pyramide.
Il nous faut maintenant, toutefois, obtenir une estimation de racine
carrée de trois à partir d'un carré initial de 10 coudées.
En rabattant la diagonale de ce carré le long d'un côté,
nous pouvons construire un rectangle qui mesure 10 coudées sur 10√2
coudées. La longueur de la diagonale de ce rectangle sera 10√3
coudées, et la mesure de cette diagonale à un doigt près
fournira un résultat de 17 coudées 2 palmes et 1 doigt, ou 485
doigts. Par conséquent, nous avons une approximation de racine carrée
de trois de 485 / 280, ou 97 / 56, avec une erreur relative d'environ 1/18800.
Si on réduit ce résultat en quantièmes, on trouve :
97 ÷ 56 = 1 + 1/2 + 1/7 + 1/14 + 1/56 = 1.73214...
Il est à noter que tout multiple de 2√3 coudées
peut être exprimé en coudées, palmes et doigts, avec une
erreur négligeable. Dans le plan du site de Gizeh, la mesure de 1000√3
coudées serait exprimée comme 1732 coudées 1 palme, ce qui
n'est pas loin de la mesure théorique de 1732,05... coudées.
Si
on prend note de la possible approximation de racine carrée de deux de 99
/ 70, on peut s'attendre au résultat ci-dessus pour une estimation de la
racine carrée de trois, et tout ceci peut être trouvé à
partir de certaines mesures du plan du site de Gizeh, que j'ai déterminées
il y a longtemps, mais que je n'avais pas examinées dans ce contexte. Le
rapport 97 : 56 peut être mis en évidence sur la distance axiale
nord-sud de (970 + 560) ou 1530 coudées, à partir du côté
nord de la Grande Pyramide, vers le sud, jusqu'au côté nord de la
Troisième Pyramide (Mykérinos). La distance axiale de 1530 coudées
est divisée sur le côté nord de la Deuxième Pyramide
(Khéphren) en un segment de 690 coudées au nord et de 840 coudées
au sud.Cette dernière mesure est naturellement divisée en trois
parties, de chacune 280 coudées, comme je l'ai noté précédemment,
[27] de sorte qu'une division de la distance de 1530 coudées en parties
de 970 et 560 coudées se produit à un point situé à
280 coudées au sud du côté nord de la Deuxième
Pyramide.
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